Question

（2013•哈爾濱一模）選修4-5：不等式選講
已知函數f（x）=log₂（|x-1|+|x-5|-a）
（Ⅰ）當a=5時，求函數f（x）的定義域；
（Ⅱ）當函數f（x）的定義域為R時，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）a=5時，表達式中對數的真數大于0，即|x-1|+|x-5|-5＞0，分情況討論不等式的解集，最后取并集即可得到函數f（x）的定義域．
（2）函數f（x）的定義域為R，即不等式|x-1|+|x-5|＞a恒成立，根據絕對值不等式的性質求出左邊的最小值，即可得到實數a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當a=5時，要使函數f（x）有意義，
即不等式|x-1|+|x-5|-5＞0成立，------------------①
①當x≤1時，不等式①等價于-2x+1＞0，解之得x＜

1

2

；
②當1＜x≤5時，不等式①等價于-1＞0，無實數解；
③當x＞5時，不等式①等價于2x-11＞0，解之得x＞

11

2

綜上所述，函數f（x）的定義域為（-∞，

1

2

）∪（

11

2

，+∞）．
（Ⅱ）∵函數f（x）的定義域為R，
∴不等式|x-1|+|x-5|-a＞0恒成立，
∴只要a＜（|x-1|+|x-5|）_min即可，
又∵|x-1|+|x-5|≥|（x-1）+（x-5）|=4，（當且僅當1≤x≤5時取等號）
∴a＜（|x-1|+|x-5|）_min即a＜4，可得實數a的取值范圍是（-∞，4）．

點評：本題給出含有絕對值的對數形式的函數，求函數的定義域并討論不等式恒成立．著重考查了函數的定義域及其求法和絕對值不等式的解法與性質等知識，屬于中檔題．