Question

【題目】如圖，是菱形，對角線與的交點為，四邊形為梯形，，．

（1）若，求證：平面；

（2）求證：平面平面；

（3）若，求直線與平面所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）取的中點，連接，，從而可得為平行四邊形，即可證明平面；

（2）只需證明平面．即可證明平面平面；

（3）作于，則為與平面所成角，在中，由余弦定理得即可．

（1）證明：取的中點，連接，，

∵是菱形的對角線，的交點，

∴，且，

又∵，且，

∴，且，

從而為平行四邊形，

∴，

又平面，平面，

∴平面；

（2）∵四邊形為菱形，∴，

∵，是的中點，∴，

又，∴平面，

又平面，

∴平面平面；

（3）作于，

∵平面平面，

∴平面，

則為與平面所成角，

由及四邊形為菱形，得為正三角形，

則，，，

∴為正三角形，從而，

在中，由余弦定理，

得，

∴與平面所成角的余弦值為．