Question

【題目】已知（為常數）.

（1）求的極值；

（2）設，記，已知為函數是兩個零點，求證： .

Answer 1

【答案】（1）的極大值為，無極小值;（2）見解析.

【解析】試題分析：(1) 求導，判斷單調性得極值即可.

(2) 先在上構造函數和比較大小，再在上利用函數單調性得.

試題解析：（1）,由得，

且時， ， 時， .

故函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

所以，函數的極大值為，無極小值.

（2）由及（1）知的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

由條件知，即,

構造函數,知與圖像兩交點的橫坐標為， ,

，由得，易知函數的單調遞減區間為，單調遞減區間為.

欲證，只需證，不妨設，

考慮到在上遞增，只需證,

由知，只需證,

令，

則，

即單調增，注意到，

結合知，即成立，

即成立.

點睛:本題考查的是函數的極值問題和極值點偏移問題.求極值時要注意判斷在導數為的點兩側的符號，異號時為極值點，要記得判斷是極大值還是極小值 ，否則不是極值點;在第二問極值點偏移中，要解決兩個問題，一是在上構造函數和比較大小，二是在上利用函數單調性.