Question

設f（x）=asin2x+bcos2x，其中a＞0，b＞0，若f（x）≤|f（

π

6

）|對一切x∈R恒成立，則
①f（

11π

12

）=0；
②|f（

7π

10

）|＜|f（

π

5

）|；
③f（x）既不是奇函數也不是偶函數；
④f（x）的單調遞增區間是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）；
⑤存在經過點（a，b）的直線與函數f（x）的圖象不相交．
以上結論正確的是（　　）

A．①②④

B．①③

C．①③④

D．①②④⑤

Answer 1

分析：先將f（x）=asin2x+bcos2x，a＞0，b＞0，變形為f（x）=

a2+b2

sin（2x+∅），再由f（x）≤|f（

π

6

）|對一切x∈R恒成立得a，b之間的關系，然后順次判斷命題真假．

解答：解：①f（x）=asin2x+bcos2x=

a2+b2

sin（2x+∅），
由f（x）≤|f（

π

6

）|對一切x∈R恒成立得|f（

π

6

）|=

a2+b2

=|asin

π

3

+bcos

π

3

|=|

3 a

2

+

b

2

|，
即

a2+b2

=|

3 a

2

+

b

2

|，
兩邊平方整理得：a=

3

b．
∴f（x）=

3

bsin2x+bcos2x=2bsin（2x+

π

6

）．
①f（

11π

12

）=2bsin（

11π

6

+

π

6

）=0，故①正確；
②|f（

7π

10

）|=|f（

π

5

）|=2bsin

17π

30

，故②錯誤；
③f（-x）≠±f（x），故③正確；
④∵b＞0，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）
得，kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z），即f（x）的單調遞增區間是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z），故④錯誤；
⑤∵a=

3

b＞0，要經過點（a，b）的直線與函數f（x）的圖象不相交，則此直線與x軸平行，又f（x）的振幅為2b＞

3

b，
∴直線必與函數f（x）的圖象有交點，故⑤錯誤．
綜上所述，結論正確的是①③．
故選B．

點評：本題考查三角函數中的恒等變換應用，考查復合三角函數的單調性，求得f（x）=2bsin（2x+

π

6

）是難點，也是關鍵，考查推理分析與運算能力，屬于難題．