Question

【題目】現(xiàn)有邊長(zhǎng)均為1的正方形正五邊形正六邊形及半徑為1的圓各一個(gè)，在水平桌面上無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)一周，它們的中心的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)分別為，，，，則（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

由題意可知，它們的中心滾動(dòng)一周的運(yùn)動(dòng)軌跡都是圓心角為2π的弧長(zhǎng)，設(shè)半徑分別為r1，r2，r3，r4，則半徑為中心與頂點(diǎn)的距離，由正方形、正五邊形、正六邊形得幾何特征可知，r1＜r2＜1，r3＝r4＝1，再利用弧長(zhǎng)公式即可得到l1＜l2＜l3＝l4．

解：由題意可知，它們的中心滾動(dòng)一周的運(yùn)動(dòng)軌跡都是圓心角為2π的弧長(zhǎng)，

設(shè)半徑分別為r1，r2，r3，r4，由題意可知，半徑為中心與頂點(diǎn)的距離，

又因?yàn)檎�方形、正五邊形、正六邊形的邊長(zhǎng)均為1，圓的半徑為1，

對(duì)于正方形，如圖所示：，∵∠AOB＝90°，∴；

對(duì)于正五邊形，如圖所示：，∵∠AOB＝72°＜90°，∠OAB＝∠OBA＝54°＜72°，∴r1＜r2＜1；

對(duì)于正六邊形，如圖所示：，∠AOB＝60°，∴△AOB為等邊三角形，∴r3＝OA＝1；

而 r4＝1，

又因?yàn)?/span>l1＝2πr1，l2＝2πr2，l3＝2πr3，l4＝2πr4，

所以l1＜l2＜l3＝l4，

故選：B．