Question

若函數f（x）（x∈R）為奇函數，且存在反函數f^-1（x）（與f（x）不同），F(x)=

2f(x)-2f-1(x)

2f(x)+2f-1(x)

，則下列關于函數F（x）的奇偶性的說法中正確的是（　　）

• A、F（x）是奇函數非偶函數
• B、F（x）是偶函數非奇函數
• C、F（x）既是奇函數又是偶函數
• D、F（x）既非奇函數又非偶函數

Answer 1

分析：由函數f（x）（x∈R）為奇函數可知，其反函數f^-1（x）也為奇函數，然后利用函數奇偶性的定義判斷函數F（x）的奇偶性．

解答：解：∵f（x）（x∈R）為奇函數∴f（-x）=-f（x）
∴f^-1（-x）=-f^-1（x）
∴F(-x)=

2f(-x)-2f-1(-x)

2f(-x)+2f-1(-x)

=

2-f(x)-2-f-1(x)

2-f(x)+2-f-1(x)

=

1 2f(x) - 1  2f-1(x)

1 2f(x) + 1 2f-1(x)

=-

2f(x)-2f-1(x)

2f(x)+2f-1(x)

=-F（x）
∴F（x）是奇函數．
故選A．

點評：本題考查函數單調性的判斷，同時考查指數的運算性質，是基礎題．