Question

設函數f（x）=a²x²（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2

2

，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整數恰有3個，求實數a的取值范圍；
（3）對于函數f（x）與g（x）定義域上的任意實數x，若存在常數k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數f（x）與g（x）的“分界線”．設a=

2

2

，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）因為f（x）=a²x²，所以f′（x）=2a²x，令f′（x）=2a²x=1
得：x=

1

2a2

，此時y=

1

4a2

，
則點(

1

2a2

，

1

4a2

)到直線x-y-3=0的距離為2

2

，
即2

2

=

| 1 2a2 - 1 4a2 -3|

2

，解之得a=

7

14

．
（2）不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整數恰有3個，
等價于（1-a²）x²-2x+1＞0恰有三個整數解，故1-a²＜0，
令h（x）=（1-a²）x²-2x+1，由h（0）=1＞0且h（1）=-a²＜0（a＞0），
所以函數h（x）=（1-a²）x²-2x+1的一個零點在區間（0，1），
則另一個零點一定在區間（-3，-2），這是因為此時不等式解集中有-2，-2，0恰好三個整數解
故

h(-2)＞0 h(-3)≤0

解之得

4

3

≤a＜

3

2

．
（3）設F(x)=f(x)-g(x)=

1

2

x2-elnx，
則F′(x)=x-

e

x

=

x2-e

x

=

(x- e )(x+ e )

x

．
所以當0＜x＜

e

時，F′（x）＜0；當x＞

e

時，F′（x）＞0．
因此x=

e

時，F（x）取得最小值0，
則f（x）與g（x）的圖象在x=

e

處有公共點(

e

，

e

2

)．
設f（x）與g（x）存在“分界線”，
方程為y-

e

2

=k(x-

e

)，即y=kx+

e

2

-k

e

，
由f(x)≥kx+

e

2

-k

e

在x∈R恒成立，
則x2-2kx-e+2k

e

≥0在x∈R恒成立．
所以△=4k2-4(2k

e

-e)=4k2-8k

e

+4e=4(k-

e

)2≤0成立，
因此k=

e

．
下面證明g(x)≤

e

x-

e

2

(x＞0)恒成立．
設G(x)=elnx-x

e

+

e

2

，則G′(x)=

e

x

-

e

=

e ( e -x)

x

．
所以當0＜x＜

e

時，G′（x）＞0；當x＞

e

時，G′（x）＜0．
因此x=

e

時G（x）取得最大值0，則f(x)≤

e

x-

e

2

(x＞0)成立．
故所求“分界線”方程為：y=

e

x-

e

2

．