Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC上的點，PA=PD=AD=2，BC=1，CD= ．
（1）求證：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若PM=3MC，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵Q為AD的中點，PA=PD=AD=2，BC=1，

∴PQ⊥AD，QD BC，

∴四邊形BCDQ是平行四邊形，∴DC∥QB，

∵底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，

∴BQ⊥AD，

又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB，

∵AD平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD

（2）證明：解：∵PQ⊥AD，平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，

∴PQ⊥底面ABCD，

以Q為原點，QA為x軸，QB為y軸，QP為z軸，建立空間直角坐標系，

則Q（0，0，0），B（0， ，0），C（﹣1， ，0），P（0，0， ），

設M（a，b，c），則 ，即（a，b，c﹣ ）= （﹣1， ，﹣ ）=（﹣ ， ，﹣ ），

∴ ，b= ，c= ，∴M（﹣ ， ， ），

=（﹣ ， ， ）， =（0， ，0），

設平面MQB的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=1，得 =（1，0， ），

平面BQC的法向量 =（0，0，1），

設二面角M﹣BQ﹣C的平面角為θ，

則cosθ= = ，∴θ= ，

∴二面角M﹣BQ﹣C的大小為 ．

【解析】（1）推導出四邊形BCDQ是平行四邊形，從而BQ⊥AD，進而AD⊥平面PQB，由此能證明平面PQB⊥平面PAD．（2）以Q為原點，QA為x軸，QB為y軸，QP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角M﹣BQ﹣C的大小．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用平面與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．