Question

【題目】已知橢圓C：的離心率為，且過點．

求橢圓的標準方程；

設直線l經過點且與橢圓C交于不同的兩點M，N試問：在x軸上是否存在點Q，使得直線QM與直線QN的斜率的和為定值？若存在，求出點Q的坐標及定值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

由橢圓C：的離心率為，且過點，列方程給，求出，，由此能求出橢圓的標準方程；假設存在滿足條件的點，設直線l的方程為，由，得，由此利用韋達定理、直線的斜率，結合已知條件能求出在x軸上存在點，使得直線QM與直線QN的斜率的和為定值1．

橢圓C：的離心率為，且過點．

，解得，，

橢圓的標準方程為．

假設存在滿足條件的點，

當直線l與x軸垂直時，它與橢圓只有一個交點，不滿足題意，

直線l的斜率k存在，設直線l的方程為，

由，得，

設，，

則，，

，

要使對任意實數k，為定值，則只有，

此時，，

在x軸上存在點，使得直線QM與直線QN的斜率的和為定值1．