Question

【題目】已知橢圓的離心率，一條準線方程為過橢圓的上頂點A作一條與x軸、y軸都不垂直的直線交橢圓于另一點P，P關于x軸的對稱點為Q．

求橢圓的方程；

若直線AP，AQ與x軸交點的橫坐標分別為m，n，求證：mn為常數，并求出此常數．

Answer 1

【答案】（1）；（2）為常數2.

【解析】

利用，，及其，解出即可得出；證法一：設P點坐標為，則Q點坐標為可得，直線AP的方程為令，解得同理可得再利用在橢圓上，即可得出mn；解法二：設直線AP的斜率為，則AP的方程為，令，得聯立，解得P，則可得Q點的坐標可得，可得直線AQ的方程，可得n，即可得出．

，，

解得，，

．

故橢圓的方程為．

證法一：設P點坐標為，則Q點坐標為

，

直線AP的方程為．

令，解得．

，

直線AQ的方程為．

令，解得．

．

又在橢圓上，

，即，

．

以mn為常數，且常數為2．

解法二：設直線AP的斜率為，則AP的方程為，

令，得．

聯立

消去y，得，解得，，

，

則Q點的坐標為

，

故直線AQ的方程為．

令，得，

．

為常數，常數為2．