Question

【題目】已知函數f（x）=kx，
（1）求函數 的單調遞增區間；
（2）若不等式f（x）≥g（x）在區間（0，+∞）上恒成立，求k的取值范圍；
（3）求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ （x＞0），∴ ，令g'（x）＞0，得0＜x＜e，

故函數 的單調遞增區間為（0，e）

（2）解：由 ，則問題轉化為k大于等于h（x）的最大值．

又 ，令 ．

當x在區間（0，+∞）內變化時，h'（x）、h（x）變化情況如下表：

x	（0， ）		（ ，+∞）
h'（x）	+	0	﹣
h（x）	↗		↘

由表知當 時，函數h（x）有最大值，且最大值為 ，因此k≥

（3）解：由 ≤ ，∴ ＜ （x≥2），

∴ ＜ ．

又∵ ＜ =

1﹣ + + +…+ =1﹣ ＜1，

∴ ＜

【解析】（1）由g'（x）＞0，解得x的范圍，就是函數的增區間．（2）問題轉化為k大于等于h（x）的最大值，利用導數求得函數h（x）有最大值，且最大值為 ，得到 k≥ ．（3）先判斷 ＜ （x≥2），得 ＜ ，
用放縮法證明 ＜1，即得要證的不等式．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．