Question

已知二次函數f（x）=x²+x的定義域D 恰是不等式 f（-x）+f（x）≤2|x|的解集，其值域為A．函數 的定義域為[0，1]，值域為B．
（1）求f （x） 的定義域D和值域 A；
（2）（理） 試用函數單調性的定義解決下列問題：若存在實數x₀∈（0，1），使得函數 在[0，x₀]上單調遞減，在[x₀，1]上單調遞增，求實數t的取值范圍并用t表示x₀．
（3）（理） 是否存在實數t，使得A⊆B成立？若存在，求實數t 的取值范圍；若不存在，請說明理由．
（4）（文） 是否存在負實數t，使得A⊆B成立？若存在，求負實數t 的取值范圍；若不存在，請說明理由．
（5）（文） 若函數在定義域[0，1]上單調遞減，求實數t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（-x）+f（x）=2x²≤2|x|的解集為為[-1，1]
函數定義域D=[-1，1]值域 A=…
（2）（理）在[0，x₀]上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，則g（x₁）＞g（x₂）
∴
∴3t＞x₁²+x₂²+x₁x₂≥3x₀² …
同理 由在[x₀，1]上單調遞增得3t≤3x₀²
所以 3t=3x₀²由x₀∈（0，1）得t∈（0，1）…
（3）（理） 由（2）的單調性分析同理可得 t 的不同取值，函數g（x）的單調性
①當 t≤0時，函數 g（x）=x³-3tx+在 x∈[0，1]單調遞增，∴B=[，]，
∴，…
②當 0＜t＜1 時，函數 g（x）的減區間為：；g（x）的增區間為：[，1]．
g（x）在 x=達到最小值．此與0＜t＜1矛盾． …
③當t≥1時，函數 g（x） 在區間[0，1]單調遞減，∴B=[]
∴
綜上所述：t的取值范圍是：…
（4）（文） 即（3）（理）①
當 t≤0時，函數 g（x）=x³-3tx+在 x∈[0，1]單調遞增，∴B=[，]，
∴，
（5）（文） 類比 （2）（理） 得t≥1 …
分析：（1）由f（-x）+f（x）=2x²≤2|x|的解集為為[-1，1]可求函數定義域D結合二次函數的性質可求，值域A
（2）（理）在[0，x₀]上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，則g（x₁）＞g（x₂）可得3t＞x₁²+x₂²+x₁x₂≥3x₀² 同理 由在[x₀，1]上單調遞增得3t≤3x₀²則 3t=3x₀²由x₀∈（0，1）可求t的范圍
（3）（理） 由（2）的單調性分析同理可得 t 的不同取值，函數g（x）的單調性
①當 t≤0時，函數 g（x）=x³-3tx+在 x∈[0，1]單調遞增，可求B，進而可求t的范圍
②當 0＜t＜1 時，函數 g（x）的減區間為：；g（x）的增區間為：[，1]．
g（x）在 x=達到最小值．③當t≥1時，函數 g（x） 在區間[0，1]單調遞減可求t的范圍
（4）（文） 即（3）（理） ①當 t≤0時，函數 g（x）=x³-3tx+在 x∈[0，1]單調遞增，可求B，進而可求t的范圍
（5）（文） 類比 （2）（理）在[0，x₀]上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，則g（x₁）＞g（x₂）可得3t＞x₁²+x₂²+x₁x₂≥3x₀² 同理 由在[x₀，1]上單調遞增得3t≤3x₀²則 3t=3x₀²由x₀∈（0，1）可求t的范圍
點評：本題主要考查了絕對值不等式的解法，及二次函數閉區間上的最值的求解，函數的單調性的應用，解答本題要求考生具備較強的邏輯推理的能力及計算的能力．