Question

【題目】如圖，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱長均為a，M是BC的中點，側面B1C1CB⊥底面ABC，且AC1⊥BC．
（Ⅰ）求證：BC⊥C1M；
（Ⅱ）求二面角A1﹣AB﹣C的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：連接AM，∵△ABC是正三角形，∴AM⊥BC，又AC1⊥BC，且AC1∩AM=A，
∴BC⊥平面AC1M，
∴BC⊥C1M．
（Ⅱ）解：以MB，MA，MC1為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則 ，
∴ ．
設平面A1AB的法向量為 ，
則 ，
∴ ．
又平面ABC的法向量是 ，
∴
∴二面角A1﹣AB﹣C的平面角的余弦值為： ．

【解析】（Ⅰ）連接AM，由△ABC是正三角形，得AM⊥BC，又AC1⊥BC，可得BC⊥平面AC1M，由此能證明BC⊥C1M．（Ⅱ）以MB，MA，MC1為x，y，z軸建立空間直角坐標系，求出A，B，A1點的坐標，則 ， 可求，設平面A1AB的法向量為 ，
從而列出方程組，求解可得 ，由此能求出二面角A1﹣AB﹣C的余弦值．
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識點，需要掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點才能正確解答此題．