Question

已知函數(shù)f（x）=x²+lnx，數(shù)列{a_n}的首項為m（m為大于1的常數(shù)），且a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）
（1）設(shè)F（x）=f（x）-x，求函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：?_n∈N^*，a_n+1＞a_n＞1；
（3）若當(dāng)t∈（-∞，e+

1

e

）時，a_n+1＞ta_n，恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,數(shù)列遞推式

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得當(dāng)x＞0時，F′(x)=2x+

1

x

-1=

2x2-x+1

x

＞0，從而得到F（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明?_n∈N^*，a_n+1＞a_n＞1．
（3）由已知條件推導(dǎo)出t＜a_n+

lnan

an

，設(shè)g（x）=x+

lnx

x

，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)出g（x）=x+

lnx

x

在（1，+∞）上單調(diào)遞增，由此能求出m的取值范圍．

解答： （1）解：由題設(shè)F（x）=x²+lnx-x，
∵當(dāng)x＞0時，F′(x)=2x+

1

x

-1=

2x2-x+1

x

＞0，
∴F（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）證明：①當(dāng)n=1時，a₂-a₁=a12+lna1-a1=F（a₁），
∵a₁=m＞1，由（1）知F（a₁）＞F（1）=0，
∴a₂＞a₁＞1成立．
②假設(shè)n=k（k∈N^*）結(jié)論成立，即a_k+1＞a_k＞1成立．
則a_k+2-a_k+1=ak+12+lnak+1-ak+1=F（a_k+1），
∵a_k+1＞a_k＞1，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴F（a_k+2）＞F（a_k）＞F（1）＞0，
∴a_k+2＞a_k+1＞1，
∴n=k+1時，結(jié)論成立，
由①②知：?_n∈N^*，a_n+1＞a_n＞1．
（3）解：∵當(dāng)t∈（-∞，e+

1

e

）時，a_n+1＞ta_n恒成立，
∴an2+lnan＞tan，又a_n＞1，∴t＜a_n+

lnan

an

，
設(shè)g（x）=x+

lnx

x

，則g′(x)=1+

1-lnx

x2

=

x2+1-lnx

x2

，
設(shè)t（x）=x²+1-lnx，則t′(x)=2x-

1

x

=

2x2-1

x

，
∵當(dāng)x＞1時，t′（x）＞0，
∴t（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
于是當(dāng)x∈（1，+∞）時，t（x）＞t（1）-2＞0，
∴當(dāng)x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0，∴g（x）=x+

lnx

x

在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
由（2）知a_n≥a₂-m＞1，
∴an+

lnan

an

≥m+

lnm

m

=g(m)，
當(dāng)且僅當(dāng)m=1時取等號，
∵t∈（-∞，e+

1

e

）時，a_n+1＞ta_n，恒成立，
∴g（m）≥e+

1

e

=g（e）．
∴m的取值范圍是[e，+∞）．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查不等式的證明，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．