Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）記函數的圖象為曲線．設點,是曲線上的不同兩點．如果在曲線上存在點，使得：①；②曲線在點處的切線平行于直線，則稱函數存在“中值相依切線”．試問：函數是否存在“中值相依切線”，請說明理由．

Answer 1

【答案】（I）當時, 函數在和上單調遞增,在上單調遞減，當時, 函數在上單調遞增，當時, 函數在和上單調遞增,在上單調遞減；（II）不存在，理由見解析.

【解析】

試題分析：（I）求導得，按照兩根大小來分類討論，從而得到單調區間；（II）先假設存在，求出，求出，由此化簡得，令換元后化簡得，用導數證明不存在使上式成立.

試題解析：

（Ⅰ）易知函數的定義域是，

①當時，即時, 令,解得或；

令,解得

所以，函數在和上單調遞增,在上單調遞減

②當時，即時, 顯然，函數在上單調遞增；

③當時，即時, 令,解得或；

令,解得．

所以，函數在和上單調遞增,在上單調遞減

綜上所述，

⑴當時, 函數在和上單調遞增,在上單調遞減；

⑵當時, 函數在上單調遞增；

⑶當時, 函數在和上單調遞增,在上單調遞減

（Ⅱ）假設函數存在“中值相依切線”．

設,是曲線上的不同兩點，且，

則

曲線在點處的切線斜率

，

依題意得：．

化簡可得：，即．

設（），上式化為：, 即．

令,．

因為,顯然，所以在上遞增,顯然有恒成立．

所以在內不存在,使得成立．

綜上所述，假設不成立．所以，函數不存在“中值相依切線”