Question

如圖，△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一點P在平面ABC內的射影是AB中點M，二面角P-AC-B的大小為45°．
（I）求二面角P-BC-A的正切值；
（II）求二面角C-PB-A的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題設知BC=5，平面APB⊥平面ABC，∠PAB是二面角P-AC-B的平面角，由此能求出二面角P-BC-A的正切值．
（II）以AC為x軸，以AB為y軸，以過點A作MP的平行線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角C-PB-A的正切值．
解答：解：（I）∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，
∴BC=5，
∵平面ABC外一點P在平面ABC內的射影是AB中點M，
∴平面APB⊥平面ABC，
∵∠BAC=90°，∴AC⊥平面APB，
∴∠PAB是二面角P-AC-B的平面角，
∵二面角P-AC-B的大小為45°，
∴∠PAB=45°，
∴PM=AM==2，
作AD⊥BC，交BC于D，連接PD，
則∠PDM是二面角P-BC-A的平面角，
∵△BDM∽△BAC，∴，
∴==，
∴tan∠PDM===，
故二面角P-BC-A的正切值為．
（II）以AC為x軸，以AB為y軸，以過點A作MP的平行線為z軸，建立空間直角坐標系，
∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，PM=2，AM=2，
∴C（3，0，0），B（0，4，0），P（0，2，2），A（0，0，0），
∴，，，，
設平面CPB的法向量為，則，，
∴，解得，
設平面APB的法向量為，則，，
∴，解得，
設二面角C-PB-A的平面角為θ，
cosθ=|cos＜＞|=．
∴tanθ=，
∴二面角C-PB-A的正切值為．
點評：本題考查二面角的正切值的求法，解題時要認真審題，合理地化立體問題為平面問題，注意向量法的合理運用．