Question

解答題

對于在區間[m，n]上有意義的兩個函數f(x)與g(x)，如果對任意的x∈[m，n]，均有|f(x)－g(x)|≤1，則稱f(x)與g(x)在[m，n]上是接近的，否則稱f(x)與g(x)在[m，n]上是非接近的．現有兩個函數f₁(x)＝log_a(x－3a)與f₂(x)＝log_a(a＞0且a≠1)，給定區間[a＋2，a＋3]．

(1)若f₁(x)與f₂(x)在給定區間[a＋2，a＋3]上都有意義，求a的取值范圍；

(2)討論f₁(x)與f₂(x)在給定區間[a＋2，a＋3]上是否是接近的．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)依題意a＞0且a≠1． 　　又a＜1． 　　∴0＜a＜1． 　　(2)|f1(x)－f2(x)|＝|loga(x2－4ax＋3a2)|． 　　令|f1(x)－f2(x)|≤1，得 　　－1≤loga(x2－4ax＋3a2)≤1．　　　　(*) 　　∵0＜a＜1， 　　∴[a＋2，a＋3]在x＝2a的右側． 　　∴g(x)＝loga(x2－4ax＋3a2)在[a＋2，a＋3]上為減函數， 　　從而g(x)max＝g(a＋2)＝loga(4－4a)，g(x)min＝g(a＋3)＝loga(9－6a)． 　　于是(*)成立的充要條件是 　　解得0＜a≤． 　　故當0＜a≤時，f1(x)與f2(x)在[a＋2，a＋3]上是接近的； 　　當＜a＜1時，f1(x)與f2(x)在[a＋2，a＋3]上是非接近的．