Question

對(duì)于函數(shù)y＝f(x)(x∈D，D是此函數(shù)的定義域)若同時(shí)滿足下列條件：

(Ⅰ)f(x)在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；

(Ⅱ)存在區(qū)間[a，b]D，使f(x)在[a，b]上的值域?yàn)閇a，b]；那么，把y＝f(x)(x∈D)叫閉函數(shù)．

(1)求閉函數(shù)y＝－x³符合條件(Ⅱ)的區(qū)間[a，b]；

(2)判斷函數(shù)f(x)＝x＋(x∈R⁺)是否為閉函數(shù)？并說(shuō)明理由；

(3)若y＝k＋是閉函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)易知y＝－x3為[a，b]上的減函數(shù)　　∴ 　　注意到a＞b，可得 　　∴所求的區(qū)間為[－1，1] 　　(2)取x1＝1，x2＝10，則f(x1)＝＜＝f(x2) 　　故f(x)不是(0，＋∞)上的減函數(shù) 　　取x1＝，x2＝，則f(x1)＝＋10＜＋1000＝f(x2) 　　故f(x)不是(0，＋∞)上的增函數(shù) 　　∴f(x)不是閉函數(shù) 　　(3)設(shè)函數(shù)y＝k＋符合條件(Ⅱ)的區(qū)間為[a，b] 　　則 　　∴a，b為方程x＝k＋的兩實(shí)根 　　∴命題等價(jià)于關(guān)于x的方程 　　上有兩不等實(shí)根 　　當(dāng)k≤－2時(shí)　　∴k＞－ 　　∴－＜k≤－2 　　當(dāng)k＞－2時(shí)　　－＜k≤－2不合題意 　　∴k的取值范圍為(－，－2] 　　注：(1)Ⅲ用數(shù)形結(jié)合法酌情給分 　　(2)(Ⅱ)(文)只要說(shuō)明f(x)不是R+上的單調(diào)函數(shù)易給出f(x)不是閉函數(shù)的結(jié)論可給滿分．