Question

對數列，規定為數列的一階差分數列，其中， 對自然數，規定為的階差分數列，其中．

（1）已知數列的通項公式，試判斷，是否為等差或等比數列，為什么？

（2）若數列首項，且滿足，求數列的通項公式。

（3）對（2）中數列，是否存在等差數列，使得對一切自然都成立？若存在，求數列的通項公式；若不存在，則請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）是首項為2，公差為0的等差數列；也是首項為2，公比為1的等比數列。

（2），，，，猜想：

證明：數學歸納法。

（3）組合數性質證得，存在等差數列，，使得對一切自然都成 。

【解析】

試題分析：（1）， 1分

∴是首項為4，公差為2的等差數列。            2分

                3分

∴是首項為2，公差為0的等差數列；也是首項為2，公比為1的等比數列。

4分

（2），即，即，∴          6分

∵，∴，，，猜想：

7分

證明：ⅰ）當時，；

ⅱ）假設時，            8分

時， 結論也成立

∴由ⅰ）、ⅱ）可知，           10分

（3），即

.   ...11分

∵       13分

∴存在等差數列，，使得對一切自然都成  14分

考點：等差數列、等比數列的基礎知識，數學歸納法，組合數的性質。

點評：中檔題，本題綜合性較強，將數列、數學歸納法、二項式系數的性質、組合數公式等綜合考查。利用“功能、猜想、證明”的方法，研究得到數列的特征，是常見題型。（3）小題利用二項式系數的性質及組合數公式，得到證明恒等式的目的。