Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）當時，求的極值；

（Ⅱ）當時，討論的單調性；

（Ⅲ）若對于任意的都有，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時， 取得極小值為，無極大值．；（Ⅱ）當時， 在和上是減函數，在上是增函數，當時， 在上是減函數，當時， 在和上是減函數，在上是增函數；（Ⅲ） ．

【解析】試題分析：

(Ⅰ) 當時， ，定義域為， ．據此可得當時， 取得極小值為，無極大值．

(Ⅱ) 當時，函數的定義域為，且．分類討論有：

（1）當時， 在和上是減函數，在上是增函數；

（2）當時， 在上是減函數；

（3）當時， 在和上是減函數，在上是增函數

(Ⅲ) 由（Ⅱ）知，當時， 在上是減函數．原問題等價于對任意恒成立，分離參數有對任意恒成立．據此可得實數的取值范圍為．

試題解析：

（Ⅰ）當時， ，定義域為，

的導函數．

當時， ， 在上是減函數；

當時， ， 在上是增函數．

∴當時， 取得極小值為，無極大值．

（Ⅱ）當時， 的定義域為， 的導函數為．

由得， ， ．

（1）當時， 在和上是減函數，在上是增函數；

（2）當時， 在上是減函數；

（3）當時， 在和上是減函數，在上是增函數

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當時， 在上是減函數．

∴．

∵對于任意的都有，

∴對任意恒成立，

∴對任意恒成立．

當時， ，∴．

∴實數的取值范圍為．