Question

【題目】已知如下等式： ， ， ，…當(dāng)n∈N*時(shí)，試猜想12+22+32+…+n2的值，并用數(shù)學(xué)歸納法給予證明．

Answer 1

【答案】解：由已知，猜想12+22+32+…+n2= ， 下面用數(shù)學(xué)歸納法給予證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，由已知得原式成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，原式成立，即12+22+32+…+k2= ，
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，12+22+32+…+（k+1）2= +（k+1）2
=
=
故n=k+1時(shí)，原式也成立．
由①、②知12+22+32+…+n2= 成立
【解析】解答此類(lèi)的方法是從特殊的前幾個(gè)式子進(jìn)行分析找出規(guī)律．觀察前幾個(gè)式子的變化規(guī)律，從中猜想12+22+32+…+n2的值．再用數(shù)學(xué)歸納法證明，證明時(shí)分為兩個(gè)步驟，第一步，先證明當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，命題成立，第二步，先假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，原式成立，利用此假設(shè)證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了歸納推理和數(shù)學(xué)歸納法的定義的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握根據(jù)一類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某種性質(zhì),退出這類(lèi)事物的所有對(duì)象都具有這種性質(zhì)的推理,叫做歸納推理；數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法才能正確解答此題．