Question

【題目】如圖所示，我市某居民小區擬在邊長為1百米的正方形地塊ABCD上劃出一個三角形地塊APQ種植草坪，兩個三角形地塊PAB與QAD種植花卉，一個三角形地塊CPQ設計成水景噴泉，四周鋪設小路供居民平時休閑散步，點P在邊BC上，點Q在邊CD上，記∠PAB=a．
（1）當∠PAQ= 時，求花卉種植面積S關于a的函數表達式，并求S的最小值；
（2）考慮到小區道路的整體規劃，要求PB+DQ=PQ，請探究∠PAQ是否為定值，若是，求出此定值，若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵邊長為1百米的正方形ABCD中，∠PAB=a，∠PAQ= ，

∴PB=100tanα，DQ=100tan（ ﹣α﹣ ）=100tan（ ﹣α），

∴S花卉種植面積=S△ABP+S△ADQ= = 100×100tanα+ 100tan（ ﹣α）

= = ，其中α∈[0， ]，

∴當sin（2α+ ）=1時，即θ= 時，S取得最小值為5000（2﹣ ）

（2）解：設∠PAB=α，∠QAD=β，CP=x，CQ=y，則BP=100﹣x，DQ=100﹣y，

在△ABP中，tanα= ，在△ADQ中，tanβ= ，

∴tan（α+β）= = ，

∵PB+DQ=PQ，

∴100﹣x+100﹣y= ，整理可得：x+y=100+ ，

∴tan（α+β）= = =1，

∴α+β= ，

∴∠PAQ是定值，且∠PAQ=

【解析】（1）由已知利用三角函數的定義可求PB=100tanα，DQ=100tan（ ﹣α），利用三角形面積公式及三角函數恒等變換的應用化簡可求S花卉種植面積= ，其中α∈[0， ]，利用正弦函數的性質可求最小值．（2）設∠PAB=α，∠QAD=β，CP=x，CQ=y，則可求BP，DQ，利用兩角和的正切函數公式可求tan（α+β）= ，由題意PB+DQ=PQ，可求：x+y=100+ ，即可得解tan（α+β）=1，可求α+β= ，即可得解．