Question

（本小題滿分14分）（注意：在試題卷上作答無效）
已知曲線，從上的點作軸的垂線，交于點，再從點作軸的垂線，交于點，設

（1）求數列的通項公式；
（2）記，數列的前項和為，試比較與的大小；
（3）記，數列的前項和為，試證明：

Answer 1

（1）；
（2），由，，，
當時，
 
；
（3）見解析。

(1)依題意確定點的坐標為，從而可得,
所以可得,所以再采用累加的方法求出通項即可.
(2)先求出,然后先求出S₁,S₂,S₃驗證均滿足小于,
然后證明當n>3時，,采用了不等式放縮后易證.n>3時，.
（3）先確定,可得,
然后可以利用此不等式進行放縮，這是解決此題的突破口.
（1）依題意點的坐標為，，，
．．．．．．2分
；
．．．．．．4分
（2），由，，，
當時，
 
；．．．．．．8分
（3），所以易證：，
當時，，
，（當時取“”）．．．．．．11分
另一方面，當時，有：


，
又，
，．所以
對任意的，都有．．．．．．．14分