Question

，定義，其中n∈N*.
（Ⅰ）求的值，并求證：數列｛a_n｝是等比數列；
（II）若，其中n∈N*，試比較9與大小，并說明理由.

Answer 1

（1），
數列｛a_n｝是首項為，公比為的等比數列。  （2）9>.

本試題主要是考查了數列的求和和數列的通項公式的 運用。證明數列是否為等比數列以及關于數列的單調性的運用。比較大小。
（1）對n賦值得到前兩項，然后發現規律得到
，從而證明等比數列
（2）由(1)知，然后利用分組求和得到前n項和的結論，并利用作差法比較大小。
證明：（1）＝2，，

，
∴
∴，∴數列｛a_n｝是首項為，公比為的等比數列。
（2）由(1)知


兩式相減得： 
，又
當n=1時，9＜；
當n=2時，9＜；
當n≥3時，2²ⁿ=[(1+1)ⁿ]²=()²>(2n+1)²,∴9>.