Question

已知圓C過點P（1，1），且與圓M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）關于直線x+y+2=0對稱．
（1）判斷圓C與圓M的位置關系，并說明理由；
（2）過點P作兩條相異直線分別與圓C相交于A，B．若直線PA和直線PB互相垂直，求PA+PB的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用對稱性，確定圓C的方程，求出兩半徑之和，即可判斷圓C與圓M的位置關系；
（2）分類討論，設出直線的方程求出點C到PA、PB的距離，即可得出結論．

解答：解：（1）設圓心C（a，b），則

a-2 2 + b-2 2 +2=0 b+2 a+2 =1

，解得a=0，b=0
則圓C的方程為x²+y²=r²，將點P的坐標代入得r²=2，故圓C的方程為x²+y²=2
∴CM=2

2

，又兩半徑之和為2

2

，∴圓M與圓C外切．
（2）若直線PA與PB中有一條直線的斜率不存在，則PA=PB=2，此時PA+PB=4．
若直線PA與PB斜率都存在，且互為負倒數，故可設PA：y-1=k（x-1），即kx-y+1-k=0，（k≠0）
點C到PA的距離為

|k+1|

1+k2

，同理可得點C到PB的距離為

|k-1|

1+k2

，
∴PA+PB=2(

2- (1-k)2 k2+1

+

2- (1+k)2 k2+1

)=2（

1- 2k k2+1

+

1+ 2k k2+1

），
（PA+PB）²=4（2+2

1- 4k2 (k2+1)2

）＞8
∴PA+PB≥2

2

，
綜上：l₁、l₂被圓C所截得弦長之和的最小值為2

2

．

點評：本題考查圓的方程，考查圓與圓的位置關系，考查點到直線的距離公式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．