Question

已知圓C過點P（1，1），且圓M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）關于直線x+y+2=0對稱．
（1）判斷圓C與圓M的位置關系，并說明理由；
（2）過點P作兩條相異直線分別與⊙C相交于A，B．
①若直線PA和直線PB互相垂直，求PA+PB的最大值；
②若直線PA和直線PB與x軸分別交于點G、H，且∠PGH=∠PHG，O為坐標原點，試判斷直線OP和AB是否平行？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中圓C過點P（1，1），且圓M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）關于直線x+y+2=0對稱，我們可以求出圓C的方程，然后判斷圓心距CM與兩圓半徑和與差的關系，即可得到答案．
（2）由（1）中圓的方程可得P點在圓C上，故l₁、l₂即PA，PB為過P點的兩條弦，
①設l₁、l₂被圓C所截得弦的中點分別為E、F，弦長分別為d₁，d₂，由直線PA和直線PB互相垂直可得四邊形OEPF是矩形，即OE²+OF²=OP²=2，進而根據半弦長，弦心距，圓半徑構造直角三角形，滿足勾股定理，得到d₁²+d₂²=8，進而由基本不等式，得到d₁+d₂，即PA+PB的最大值；
另外，也可以分類討論，分別討論直線PA與PB中有一條直線的斜率不存在和直線PA與PB斜率都存在，且互為負倒數，兩種情況下PA+PB的值，最后綜合討論結果得到答案．
②由已知中直線PA和直線PB與x軸分別交于點G、H，且∠PGH=∠PHG，可得直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數，設PA：y-1=k（x-1），PB：y-1=-k（x-1），求出A，B坐標后，代入斜率公式，判斷直線OP和AB是否相等，即可得到答案．

解答：解（1）設圓心C（a，b），則

a-2 2 + b-2 2 +2=0 b+2 a+2 =1

，解得

a=0 b=0

…（2分）
則圓C的方程為x²+y²=r²，將點P的坐標代入得r²=2，故圓C的方程為x²+y²=2
∴CM=2

2

，又兩半徑之和為2

2

，∴圓M與圓C外切．…（4分）
（2）令l₁、l₂即PA，PB為過P點的兩條弦
①設l₁、l₂被圓C所截得弦的中點分別為E、F，弦長分別為d₁，d₂，因為四邊形OEPF是矩形，
所以OE²+OF²=OP²=2，即(2-(

d1

2

)2)+(2-(

d2

2

)2)=2，化簡得d₁²+d₂²=8…（9分）
從而d₁+d₂≤

2

•

d 2 1 + d 2 2

=4，（d₁=d₂時取等號，此時直線PA，PB必有一條斜率不存在）
綜上：l₁、l₂被圓C所截得弦長之和的最大值為4…（10分）
另解：若直線PA與PB中有一條直線的斜率不存在，
則PA=PB=2，此時PA+PB=4．…（5分）
若直線PA與PB斜率都存在，且互為負倒數，故可設PA：y-1=k（x-1），即kx-y+1=0，（k≠0）
點C到PA的距離為

|k+1|

1+k2

，同理可得點C到PB的距離為

|k-1|

1+k2

，
∴PA+PB=2（

2- (1-k)2 k2+1

+

2- (1+k)2 k2+1

）…（8分）
∴（PA+PB）²=4（2+2|1-

2

k2+1

|）＜16，∴PA+PB＜4 …（9分）
綜上：l₁、l₂被圓C所截得弦長之和的最大值為4…（10分）
②直線OP和AB平行，理由如下：
由題意知，直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數，故可設PA：y-1=k（x-1），
PB：y-1=-k（x-1），由

y-1=k(x-1) x2+y2=2

，得（1+k²）x²+2k（1-k）x+（1-k）²-2=0
因為P的橫坐標x=1一定是該方程的解，故可得x_A=

k2-2k-1

1+k2

…（12分）
同理，所以x_B=

k2+2k-1

1+k2

，k_AB=

yB-yA

xB-xA

=

-k(xB-1)-k(xA-1)

xB-xA

=

2k-k(yB+yA)

xB-xA

=1=k_OP…（15分）
所以，直線AB和OP一定平行．…（16分）
（說明：解答題方法不唯一時，評分參照執行．）

點評：本題考查的知識點是直線和圓的方程的應用，點到直線的距離公式，關于直線對稱的圓的方程，圓與圓位置關系及其判定，其中根據已知條件求出圓C的方程是解答本題的關鍵．