Question

已知圓C過點P（1，1），且與圓（x+3）²+（y+3）²=r²（r＞0）關于直線x+y+3=0對稱．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）過點P作兩條直線分別與圓C相交于點A、B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補，O為坐標原點，判斷直線OP與AB是否平行，并請說明理由．

Answer 1

分析：（1） 設出對稱圓的方程，根據點和它關于直線（對稱軸）的對稱點與軸垂直且中點在軸上，求出圓心坐標，再把
圓經過的點的坐標代入，可求半徑，從而得到圓C的方程．
（2）把PA所在的直線方程代入圓的方程，求得點A的坐標，同理求的B的坐標，據斜率公式求得AB斜率，將它和
直線OP的斜率作對比，斜率相同，且兩直線不重合，則得直線OP與AB平行．

解答：解：（1）依題意，可設圓C的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，且a、b滿足方程組

a-3 2 + b-3 2 +3=0 b+3 a+3 ×(-1)=-1.

，
由此解得a=b=0．又因為點P（1，1）在圓C上，所以，r²=（1-a）²+（1-b）²=（1+0）²+（1+0）²=2．
故圓C的方程為x²+y²=2．
（2）由題意可知，直線PA和直線PB的斜率存在且互為相反數，
故可設PA所在的直線方程為y-1=k（x-1），PB所在的直線方程為y-1=-k（x-1）．
由

y-1=k(x-1) x2+y2=2

消去y，并整理得：（k²+1）x²+2k（1-k）x+（1-k）²-2=0．①
設A（x₁，y₁），又已知P（1，1），則x₁、1為方程①的兩相異實數根，由根與系數的關系得
 x1=

k2-2k-1

k2+1

．同理，若設點B（x₂，y₂），則可得x2=

k2+2k-1

k2+1

．
于是kAB=

y1-y2

x1-x2

=

k(x1-1)+k(x2-1)

x1-x2

=

k(x1+x2)-2k

x1-x2

=1．
而直線OP的斜率也是1，且兩直線不重合，因此，直線OP與AB平行．

點評：本題考查求一個圓關于直線的對稱圓的方程的方法，直線和圓相交的性質，判斷兩直線平行的方法，注意當兩直線斜率相等時，要檢驗在縱軸上的截距不相等，才能判斷這兩直線平行．