Question

f（x）=|x-a|-lnx（a＞0）．
（1）若a=1，求f（x）的單調區間及f（x）的最小值；
（2）若a＞0，求f（x）的單調區間；
（3）試比較++…+與的大小．（n∈N^*且n≥2），并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出導函數fˊ（x），解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，判斷函數的單調性即可；
（2）求出函數的定義域；求出導函數，從導函數的二次項系數的正負；導函數根的大小，進行分類討論；判斷出導函數的符號；利用函數的單調性與導函數符號的關系求出單調性．
（3）將要證的不等式等價轉化為g（x）＞0在區間（1，2）上恒成立，利用導數求出g（x）的最小值，只要最小值大于0即可．
解答：解：（1）a=1，f（x）=|x-1|-lnx
當x≥1時，f（x）=x-1-lnx，f′（x）=1-=≥0
∴f（x）在區間[1，+∞）上是遞增的．
（2）x＜1時，f（x）=x-1-lnx，f′（x）=1-＜0
∴f（x）在區間（0，1）減的．
故a=1時f（x）在[1，+∞）上是遞增的，減區間為（0，1），f（x）_min=f（1）=0
a≥1  x＞a f（ x ）=x-a-lnx，f′（x）=1-
f（x）在[a，+∞）上是遞增的，
0＜x＜a，f（x）=-x+a-lnx，f′（x）=-1-＜0
∴f（x）在   （0，a）遞減函數，
0＜a＜1，x≥af（x）=x-a-lnx
f′（x）=1-，x＞1，f′（x）＞0，a＜x＜1，f′（x）＜0
f（x）在[1，+∞）遞增函數f（x）在[a，1）遞減函數
0＜x＜a 時 f（x）=a-x-lnx，f′（x）=-1-＜0
∴f（x） 在  （0，a）遞減函數
f（x）在[1，+∞）遞減函數，（0，1）遞減函數．
a≥1 時 f（x）在[a，+∞），（0，a）增函數．
0＜a＜1 時 f（x）在[1，+∞），（0，1）增函數．
（3）當a=1  x＞1 時 x-1-lnx＞0 
∴=n-1-（++…+）＜n-1-（++…+）=n-1-（-+-+…+-）=n-1-（-）=
點評：本題考查利用導函數討論函數的單調性：導函數為正函數遞增；導函數為負，函數遞減．考查分類討論的數學思想方法，函數的最值，不等式的證明，以及利用導數研究函數的單調性等基礎知識，考查計算能力和分析問題的能力，以及轉化的數學思想，屬于基礎題