Question

甲袋裝有m個白球，n個黑球，乙袋裝有n個白球，m個黑球，（m≠n），現從兩袋中各摸一個球，A：“兩球同色”，B：“兩球異色”，求證：P（A）＜P（B）．

Answer 1

以A₁表示取出的都是白球．A₂表示取出的都是黑球，則
∵A₁，A₂互斥且A=A₁∪A₂，
∴P（A）=P（A₁）+P（A₂）=

mn

(m+n)2

+

nm

(m+n)2

=

2mn

(m+n)2

．
以B₁表示甲袋取出白球乙袋取出黑球，B₂表示甲袋取出黑球乙袋取出白球，
∵B₁、B₂互斥且B=B₁∪B₂，
∴P（B）=P（B₁）+P（B₂）=

m2

(m+n)2

+

n2

(m+n)2

=

m2+n2

(m+n)2

．
由于m≠n，故2mn＜m²+n²．
∴P（A）＜P（B）．