Question

甲袋裝有m個白球，n個黑球，乙袋裝有n個白球，m個黑球，（m≠n），現從兩袋中各摸一個球，A：“兩球同色”，B：“兩球異色”，求證：P（A）＜P（B）．

Answer 1

分析：由題意知將A、B分別分解為互斥事件，利用互斥事件來表示要比較的兩個事件的概率，根據等可能事件的概率寫出P（A₁）與P（A₂），P（B₁）與P（B₂），利用互斥事件的概率表示出A與B的概率，根據基本不等式進行比較得到結果．

解答：解：以A₁表示取出的都是白球．A₂表示取出的都是黑球，則
∵A₁，A₂互斥且A=A₁∪A₂，
∴P（A）=P（A₁）+P（A₂）=

mn

(m+n)2

+

nm

(m+n)2

=

2mn

(m+n)2

．
以B₁表示甲袋取出白球乙袋取出黑球，B₂表示甲袋取出黑球乙袋取出白球，
∵B₁、B₂互斥且B=B₁∪B₂，
∴P（B）=P（B₁）+P（B₂）=

m2

(m+n)2

+

n2

(m+n)2

=

m2+n2

(m+n)2

．
由于m≠n，故2mn＜m²+n²．
∴P（A）＜P（B）．

點評：由題意知本題也可以這樣解：顯然B=

.

A

，所以按解法一解出P（A）后，可得P（B）=1-P（A）=

m2+n2

(m+n)2

．比較P（A）、P（B）即可．