Question

甲袋裝有m個白球，n個黑球，乙袋裝有n個白球，m個黑球，（m≠n），現從兩袋中各摸一個球，A：“兩球同色”，B：“兩球異色”，則P（A）與P（B）的大小關系為（　　）

• A、P（A）＜P（B）
• B、P（A）=P（B）
• C、P（A）＞P（B）
• D、視m，n的大小而定

Answer 1

分析：表示出P（A）與P（B）的表達式，從兩袋中各摸一個球根據分步計數原理，有（m+n）（m+n）種辦法，兩球同色有mn種辦法，根據古典概型公式，代入得到結果，最后比較大小時用到基本不等式．

解答：解：以A₁表示取出的都是白球．，A₂表示取出的都是黑球，則 A₁，A₂互斥且A=A₁∪A₂，
P（A）=P（A₁）+P（A₂）=

mn

(m+n)2

+

mn

(m+n)2

=

2mn

(m+n)2

．
以B₁表示甲袋取出白球乙袋取出黑球，
B₂表示甲袋取出黑球乙袋取出白球，
則B₁、B₂到斥且B=B₁∪B₂，
P（B）=P（B₁）+P（B₂）=

m2

(m+n)2

+

n2

(m+n)2

=

m2+n2

(m+n)2

．
由于m≠n，故2mn＜m²+n²．
故P（A）＜P（B）．
故選A．

點評：要用組合數表示事件的總數，題目做起來有點困難，為了敘述方便，我們把條件每實現一次，叫做進行一次試驗，如果試驗結果事先無法確定，并且可以重復進行，這種試驗就叫做隨機試驗．我們做的概率問題就是一個隨機試驗．