Question

【題目】已知函數

(1)判斷函數在上的單調性

(2)若恒成立，求整數的最大值

(3)求證：

Answer 1

【答案】（1）函數在上為減函數 （2）整數的最大值為3 （3）見解析

【解析】

（1）由導數的應用，結合，得函數在上為減函數；

（2）原命題可轉化為即恒成立，即，再構造函數，利用導數求其最小值即可；

（3）由（2）知，，，令，再求和即可證明不等式，得解.

解：（1）因為，

所以，，

又因為 ，所以，，

所以 ，

即函數在上為減函數；

（2）由恒成立，

即恒成立，

即，

設，

所以，，

令，

則，

即在為增函數，

又 ，，

即存在唯一的實數根，滿足，且，，

當時，，，當時，，，

即函數在為減函數，在為增函數，

則，

故整數的最大值為3；

（3）由（2）知，，，

令，

則 ，

則=，

故.