Question

（2007•湖北模擬）設函數f(x)=

a

•

b

+m+m，

a

=(2，-cosωx)，

b

=(sinωx，-2)（其中ω＞0，m∈R），且f（x）的圖象在y軸右側的第一個最高點的橫坐標為2．
（1）求ω；
（2）若f（x）在區間[8，16]上最大值為3，求m的值．

Answer 1

分析：（1）由題設知f（x）=2sinωx+2cosωx+m，再由三角函數和（差）公式，得到f（x）=2

2

sin(ωx+

π

4

)+m，由此能求出ω的值．
（2）由（1）知f(x)=2

2

sin(

π

8

x+

π

4

)+m，當x∈[8，16]時，

π

8

x+

π

4

∈[

5

4

π，

9

4

π]，由此利用f（x）在區間[8，16]上最大值為3，能求出m的值．

解答：解：（1）f（x）=2sinωx+2cosωx+m=2

2

sin(ωx+

π

4

)+m
依題意得：2ω+

π

4

=

π

2

∴ω=

π

8

（6分）
（2）由（1）知f(x)=2

2

sin(

π

8

x+

π

4

)+m
又當x∈[8，16]時，

π

8

x+

π

4

∈[

5

4

π，

9

4

π]
從而當x=16時，sin(

π

8

x+

π

4

)=

2

2

即2

2

•

2

2

+m=3
∴m=1（12分）

點評：本題考查平面向量的綜合應用，解題時要認真審題，注意三角函數恒等式的靈活運用，合理地進行等價轉化．