Question

已知數列{b_n}前n項和Sn=

3

2

n2-

1

2

n．數列{a_n}滿足

a

3 n

=4-(bn+2)（n∈N^*），數列{c_n}滿足c_n=a_nb_n．
（1）求數列{a_n}和數列{b_n}的通項公式；     
（2）求數列{c_n}的前n項和T_n；
（3）若cn≤

1

4

m2+m-1對一切正整數n恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）利用Sn=

3

2

n2-

1

2

n，再寫一式，兩式相減，即可求得通項b_n，進而求得通項a_n．
（2）先求得c_n，進而利用錯位相減法即可求得T_n．
（3）求出c_n的最大值，即可求實數m的取值范圍．

解答： 解：（1）由已知和得，當n≥2時，bn=Sn-Sn-1=(

3

2

n2-

1

2

n)-(

3

2

(n-1)2-

1

2

(n-1))=3n-2
又b₁=1=3×1-2，符合上式．故數列{b_n}的通項公式b_n=3n-2．
又∵

a

3 n

=4-(bn+2)，∴an=4-

(bn+2)

3

=4-

(3n-2)+2

3

=(

1

4

)n，
故數列{a_n}的通項公式為an=(

1

4

)n，
（2）cn=anbn=(3n-2)•(

1

4

)n，
∴Sn=1×

1

4

+4×(

1

4

)2+7×(

1

4

)3+…+(3n-2)×(

1

4

)n，

1

4

Sn=1×(

1

4

)2+4×(

1

4

)3+7×(

1

4

)4+…+(3n-5)×(

1

4

)n+(3n-2)×(

1

4

)n+1，
①-②得 

3

4

Sn=

1

4

+3×[(

1

4

)2+(

1

4

)3+(

1

4

)4+…+(

1

4

)n]-(3n-2)×(

1

4

)n+1
=

1

4

+3×

( 1 4 )2[1-( 1 4 )n-1]

1- 1 4

-(3n-2)×(

1

4

)n+1=

1

2

-(3n+2)×(

1

4

)n+1，
∴Sn=

2

3

-

12n+8

3

×(

1

4

)n+1═

2

3

-

3n+2

3

×(

1

4

)n．    
（3）∵cn=(3n-2)•(

1

4

)n，
∴cn+1-cn=(3n+1)•(

1

4

)n+1-(3n-2)•(

1

4

)n=(

1

4

)n•[

3n+1

4

-(3n-2)]=-9•(

1

4

)n+1(n-1)，
當n=1時，c_n+1=c_n；當n≥2時，c_n+1≤c_n，
∴(cn)max=c1=c2=

1

4

．
若cn≤

1

4

m2+m-1對一切正整數n恒成立，
則

1

4

m2+m-1≥

1

4

即可，解得m≤-5或m≥1．

點評：本題考查了已知數列的前n項和求通項及利用錯位相減法求數列的前n項和，考查恒成立問題，掌握方法是解題的關鍵．