Question

如圖，已知，圓O內接四邊形BEGD，AB切圓O于點B，且與四邊形BEGD對角線ED延長線交于點A，CD切圓O于點D，且與EG延長線交于點C；延長BD交AC于點Q，若AB=AC．
（1）求證：AC∥DG；
（2）求證：C，E，B，Q四點共圓．

Answer 1

考點：與圓有關的比例線段,圓內接多邊形的性質與判定

專題：立體幾何

分析：（1）若AB=AC，由AB²=AD•AE，得AC²=AD•AE，從而△ADC∽△ACE，由此能證明AC∥DG．
（2）延長EC到P，得∠QCP=∠DGC，由B、E、G、D四點共圓，能證明C、E、B、Q四點共圓．

解答： （本小題滿分為10分）
證明：（1）若AB=AC，由AB²=AD•AE，得AC²=AD•AE，
即

AC

AD

=

AE

AC

，又∠EAC=∠DAC，
∴△ADC∽△ACE，（3分）
得∠ACD=∠DEG，
又∠CDG=∠DEC=∠DCG，（5分）
∴∠ACD=∠CDG，
故AC∥DG．（6分）
（2）延長EC到P，得∠QCP=∠DGC，
∵B、E、G、D四點共圓，∴∠DGC=∠DBE，
∴∠QCP=∠DGC=∠DBE，
∴C、E、B、Q四點共圓．（10分）

點評：本題考查直線平行的證明，考查四點共圓的證明，解題時要認真審題，注意圓的性質的合理運用．