Question

（2008•湖北模擬）如圖，設F是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的左焦點，直線l為對應的準線，直線l與x軸交于P點，線段MN為橢圓的長軸，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）求證：對于任意的割線PAB，恒有∠AFM=∠BFN；
（Ⅲ）求三角形△ABF面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由|MN|=8，知a=4，由|PM|=2|MF|，知e=

1

2

，由此能求出橢圓的標準方程．
（2）當AB的斜率為0時，顯然∠AFM=∠BFN=0，滿足題意，當AB的斜率不為0時，設AB方程為x=my-8，代入橢圓方程整理得：（3m²+4）y²-48my+144=0．△=576（m²-4），yA+yB=

48m

3m2+4

，yAyB=

144

3m2+4

．由此能夠證明對于任意的割線PAB，恒有∠AFM=∠BFN．
（3）S△ABF=

72 m2-4

3(m2-4)+16

=

72

3 m2-4 + 16 m2-4

≤

72

2 3•16

=3

3

，當且僅當m=±

2 21

3

取到等號．由此能求出三角形△ABF面積的最大值．

解答：解：（1）∵|MN|=8，
∴a=4，
又∵|PM|=2|MF|，
∴e=

1

2

，
∴c=2，b²=a²-c²=12，
∴橢圓的標準方程為

x2

16

+

y2

12

=1．  （3分）
（2）當AB的斜率為0時，顯然∠AFM=∠BFN=0，滿足題意，
當AB的斜率不為0時，設AB方程為x=my-8，
代入橢圓方程整理得：（3m²+4）y²-48my+144=0．
△=576（m²-4），yA+yB=

48m

3m2+4

，yAyB=

144

3m2+4

．
則kAF+kBF=

yA

xA+2

+

yB

xB+2

=

yA

myA-6

+

yB

myB-6

=

yA(myB-6)+yB(myA-6)

(myA-6)(myB-6)

=

2myAyB-6(yA+yB)

(myA-6)(myB-6)

，
而2myAyB-6(yA+yB)=2m•

144

3m2+4

-6•

48m

3m2+4

=0
∴k_AF+k_BF=0，從而∠AFM=∠BFN．
綜合可知：對于任意的割線PAB，恒有∠AFM=∠BFN．（8分）
（3）S△ABF=S△PBF-S△PAF=

1

2

|PF|•|yB-yA|=

72 m2-4

3m2+4

，
即：S△ABF=

72 m2-4

3(m2-4)+16

=

72

3 m2-4 + 16 m2-4

≤

72

2 3•16

=3

3

，
當且僅當3

m2-4

=

16

m2-4

，即m=±

2 21

3

（此時適合于△＞0的條件）取到等號．
∴三角形△ABF面積的最大值是3

3

．       （13分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．