Question

已知函數上為增函數，且，，．
（1）求的值；
（2）當時，求函數的單調區間和極值；
（3）若在上至少存在一個，使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

（1）；
（2）函數的單調遞增區間是，遞減區間為，極大值；
（3）的取值范圍為．

試題分析：（1）利用在上恒成立，
轉化成在上恒成立，從而只需，
即，結合正弦函數的有界性，得到，求得；
（2）研究函數的單調性、極值，一般遵循“求導數，求駐點，討論區間導數值的正負，確定單調性及極值”，利用“表解法”，往往形象直觀，易于理解.
（3）構造函數，
討論，時，的取值情況，根據在上恒成立，得到在上單調遞增，利用大于0，求得.
試題解析：（1）由已知在上恒成立，
即，∵，∴，
故在上恒成立，只需，
即，∴只有，由知；            4分
（2）∵，∴，，
∴，
令，則，
∴，和的變化情況如下表：

	+	0
		極大值

即函數的單調遞增區間是，遞減區間為，有極大值；
7分
（3）令，
當時，由有，且，
∴此時不存在使得成立；
當時，，
∵，∴，又，∴在上恒成立，
故在上單調遞增，∴，
令，則，
故所求的取值范圍為．                          12分