Question

【題目】已知函數(shù)，，是的導(dǎo)函數(shù).

（1）若，求的值；

（2）設(shè).①若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，求的取值范圍；②若函數(shù)在定義域上不單調(diào)，試判定的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并給出證明過程.

Answer 1

【答案】（1）（2）①；②函數(shù)必有三個(gè)不同零點(diǎn).見解析

【解析】

（1）由以及即可得到；

（2）①在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，只需求出的最小值即可；②由，知不可能對恒成立，即在定義域上不可能始終都為減函數(shù).進(jìn)一步可得，設(shè)，與有相同的零點(diǎn)，對進(jìn)行分析即可.

（1）由，得，

因?yàn)?/span>，所以，

所以.

（2）①因?yàn)?/span>，所以的定義域?yàn)?/span>，

.

因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上單調(diào)遞增，

所以在上恒成立，

即在上恒成立.

設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，，則在上為減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，則在上為增函數(shù)，

所以在時(shí)恒成立，

所以.

②因?yàn)?/span>，

所以，則不可能對恒成立，

即在定義域上不可能始終都為減函數(shù).

由①知函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，

所以若函數(shù)在定義域上不是單調(diào)函數(shù).

又因?yàn)?/span>，所以是函數(shù)一個(gè)零點(diǎn).

令，得，

設(shè)，則與有相同的零點(diǎn)，

令，得.

因?yàn)?/span>，所以，

所以有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)解，，

因?yàn)?/span>，，所以不妨設(shè).

當(dāng)時(shí)，，在為增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，在為減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，， 在為增函數(shù)，

則，.

又因?yàn)?/span>時(shí)，，，

，，

又因?yàn)?/span>在圖象不間斷，所以在有唯一一個(gè)零點(diǎn)，

又因?yàn)?/span>在圖象不間斷，所以在有唯一一個(gè)零點(diǎn)，

又因?yàn)?/span>是函數(shù)一個(gè)零點(diǎn).

綜上函數(shù)必有三個(gè)不同零點(diǎn).