Question

如圖，四邊形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2

2

，E，F分別是AD，PC的中點．建立適當的空間坐標系，利用空間向量解答以下問題：
（Ⅰ）證明：PC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求平面BEF與平面BAP夾角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標系，用坐標表示向量，證明

PC

⊥

BF

，

PC

⊥

EF

，即可證得PC⊥平面BEF；
（Ⅱ）確定平面BEF的法向量

n1

=

PC

=(2，2

2

，-2)，平面BAP的法向量

n2

=

AD

=(0，2

2

，0)，利用向量的夾角公式，即可求平面BEF與平面BAP夾角的大小．

解答：（Ⅰ）證明：如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．
∵AP=AB=2，BC=AD=2

2

，四邊形ABCD是矩形．
∴A，B，C，D，P的坐標為A（0，0，0），B（2，0，0），C(2，2

2

，0)D(0，2

2

，0)，P(0，0，2)，
又E，F分別是AD，PC的中點，∴E(0，

2

，0)，F(1，

2

，1)，
∴

PC

=(2，2

2

，-2)，

BF

=(-1，

2

，1)，

EF

=(1，0，1)，
∴

PC

•

BF

=-2+4-2=0，

PC

•

EF

=2+0-2=0，（6分）
∴

PC

⊥

BF

，

PC

⊥

EF

，
又∵BF∩EF=F，∴PC⊥平面BEF（9分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知平面BEF的法向量

n1

=

PC

=(2，2

2

，-2)，
平面BAP的法向量

n2

=

AD

=(0，2

2

，0)，∴

n1

•

n2

=8   （12分）
設平面BEF與平面BAP的夾角為θ，
則cosθ=cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

8

4×2 2

=

2

2

，
∴θ=45°，∴平面BEF與平面BAP的夾角為45°（15分）

點評：本題考查線面垂直，考查面面角，考查向量知識的運用，用坐標表示向量是關鍵．