Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，PA=1，E為BC的中點．
（1）求點C到面PDE的距離；  
（2）求二面角P-DE-A的余弦值．

Answer 1

分析：（1）設點C到面PDE的距離為d，根據等積代換，利用

1

3

•S△CDE•PA=

1

3

•S △PDE•d求解．
（2）由（1）DE⊥面APE，所以∠AEP為二面角P-DE-A的平面角，在直角三角形PAE中求解．

解答：解：（1）連接AE，易得AE=DE=

2

，而AD=2∴△ADE為直角三角形，故AE⊥DE
又PA⊥面ABCD，所以PA⊥DE，DE⊥面APE，PE⊥DE，S△PED=

1

2

•PE•DE=

1

2

•

3

•

2

=

6

2

又S△ECD=

1

2

•CE•CD=

1

2

，由V_P-CDE=V_C-PDE，設點C到面PDE的距離為d，
則

1

3

•S△CDE•PA=

1

3

•S △PDE•d，得d=

6

6

（2）由（1）DE⊥面APE，故AE⊥DE，PE⊥DE，所以∠AEP為二面角P-DE-A的平面角．又PA⊥AE，
∴cos∠AEP=

AE

AP

=

2

3

=

6

3

，所以二面角P-DE-A的余弦值為

6

3

點評：此題重點考查了線線垂直，線面垂直的判定及性質，面面垂直的判定及性質，還考查了利用三垂線定理求出二面角，點到平面的距離求解．