Question

如圖，四邊形ABCD為正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=

1

2

PD．
（Ⅰ）證明PQ⊥平面DCQ；
（Ⅱ）求棱錐Q-ABCD的體積與棱錐P-DCQ的體積的比值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用線面垂直的判定定理證明本題是解決本題的關鍵，要在平面中尋找與已知直線垂直的兩條相交直線，進行線面關系的互相轉化；
（Ⅱ）利用體積的計算方法將本題中的體積計算出來是解決本題的關鍵，掌握好錐體的體積計算公式．

解答：解：（I）由條件知PDAQ為直角梯形，
因為QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交線為AD
又四邊形ABCD為正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC
在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=

2

2

PD，則PQ⊥DQ，又DQ∩DC=D，
所以PQ⊥平面DCQ；
（Ⅱ）設AB=a，
由題設知AQ為棱錐Q-ABCD的高，所以棱錐Q一ABCD的體積v1=

1

3

a3
由（Ⅰ）知PQ為棱錐P-DCQ的高而PQ=

2

a．△DCQ的面積為

2

2

a2．
所以棱錐P-DCQ的體積v2=

1

3

a3
故棱錐Q-ABCD的體積與棱錐P-DCQ的體積的比值為1：l．

點評：本題考查空間中線面垂直的判定方法，考查學生的轉化與化歸能力，將線面垂直轉化為線線垂直，注意步驟的規范性，考查學生對錐體的體積的計算方法的認識，考查學生的幾何計算知識．