Question

【題目】已知函數，其中且.

（Ⅰ）討論的單調區間；

（Ⅱ）若直線的圖象恒在函數圖像的上方，求的取值范圍；

（Ⅲ）若存在，，使得，求證：.

Answer 1

【答案】（I）在是增函數，在是減函數；（II）；（III）證明見解析.

【解析】

試題分析：（I）求函數的導數，利用函數的單調性與導數的關系，即可求解函數的單調區間；（II）根據直線的圖象恒在函數圖像的上方，轉化為恒成，即可求解的取值范圍；（III）利用函數的單調性和函數零點之間的關系，構造函數利用函數的單調性即可證明結論.

試題解析：（Ⅰ）的定義域為.

期導數…………………1分

①當時，，函數在上是增函數；…………2分

②當時，在區間上，；在區間上，.

所以在在是增函數，在是減函數，………………4分

（Ⅱ）當時，取，則，不合題意.

當時，令，則………………6分

問題化為求恒成立時的取值范圍.

由于…………………7分

∴在區間上，；在區間上，

∴的最小值為，

所以只需，即

∴即…………9分

（Ⅲ）由于當時函數在上是增函數，不滿足題意，所以

構造函數

∴…………………11分

則，所以函數在區間上為減函數.

∵，則

于是，又，，

由在上減函數可知，即…………14分