Question

設f₁（x）=cosx，定義f_n+1（x）為f_n（x）的導數，即f_n+1（x）=f′_n（x），n∈N^*，若△ABC的內角A滿足f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₃（A）=0，則sinA的值是________．

Answer 1

1
分析：由已知，f₁（x）=cosx，f₂（x）=f₁′（x）=-sinx，f₃（x）=f₂′（x）=-cosx，f₄（x）=f₃′（x）=sinx，f₅（x）=f₄′（x）=cosx，發現f_n（x）以4為周期，結果循環出現，利用此規律將2013轉化為n=1的情況求解．
解答：∵f₁（x）=cosx，
∴f₂（x）=f₁′（x）=-sinx，
f₃（x）=f₂′（x）=-cosx，
f₄（x）=f₃′（x）=sinx，
f₅（x）=f₄′（x）=cosx，
…
從第五項開始，f_n（x）的解析式重復出現，每4次一循環．
∴f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=0
∴f₂₀₁₃（x）=f_4×503+1（x）=f₁（x）=cosx，
∵f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₃（A）=0
∴cosA=0
∵A為三角形的內角
∴sinA=1
故答案為：1．
點評：考查學生會進行導數的運算，會根據條件歸納總結得到結論，并利用得到的結論解決問題．