Question

一個盒子內裝有八張卡片，每張卡片上面分別寫著下列函數中的一個：f₁（x）=x，f₂（x）=2^x，f₃（x）=ln（|x|+3），f₄（x）=sinx，f₅（x）=|sinx|，f₆（x）=cosx，f₇（x）=cos|x|，f₈（x）=3，而且不同卡片上面寫著的函數互不相同，每張卡片被取出的概率相等．
（1）如果從盒子中一次隨機取出兩張卡片，并且將取出的兩張卡片上的函數相加得到一個新函數，求所得新函數是奇函數的概率；
（2）現從盒子中一次隨機取出一張卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上寫著的函數是偶函數則停止取出卡片，否則繼續取出卡片．設取出了ξ次才停止取出卡片，求ξ的數學期望．

Answer 1

分析：（1）由題意記事件A為“任取兩張卡片，將卡片上的函數相加得到的函數是奇函數”，利用列舉的方法分析清楚題意借助古典概型的概率計算公式即可求得；
（2）由題意分析出題設中的離散型隨機變量ξ可取1，2，3，4，利用古典概型的計算公式求出每一個值對應下的事件的概率，再有分布列定義列出該隨機變量的分布列，并利用期望定義求得期望．

解答：解：（1）記事件A為“任取兩張卡片，將卡片上的函數相加得到的函數是奇函數”，
∵在所給的八個函數中，奇函數有兩個：f₁（x）=x，f₄（x）=sinx；
偶函數有五個：f₃（x）=ln（|x|+3），f₅（x）=|sinx|，f₆（x）=cosx，f₇（x）=cos|x|，f₈（x）=3；
既不是奇函數也不是偶函數的有一個：f₂（x）=2^x．
由題意知P(A)=

1

C 2 8

=

1

28

．
答：所得新函數是奇函數的概率等于

1

28

．
（2）ξ可取1，2，3，4，根據題意得P(ξ=1)=

C 1 5

C 1 8

=

5

8

，P(ξ=2)=

C 1 3

C 1 8

•

C 1 5

C 1 7

=

15

56

，P(ξ=3)=

C 1 3

C 1 8

•

C 1 2

C 1 7

•

C 1 5

C 1 6

=

5

56

，
P(ξ=4)=

C 1 3

C 1 8

•

C 1 2

C 1 7

•

C 1 1

C 1 6

•

C 1 5

C 1 5

=

1

56

．
故ξ的分布列為

ξ	1	2	3	4
P	5 8	15 56	5 56	1 56

Eξ=1×

5

8

+2×

15

56

+3×

5

56

+4×

1

56

=

3

2

．

點評：本題主要考查函數的性質、排列組合、古典概型、隨機變量的分布列等基礎知識，考查學生運用所學知識解決實際應用問題的能力．