Question

【題目】已知數列{an}的首項為1，前n項和Sn與an之間滿足an= （n≥2，n∈N*）
（1）求證：數列{ }是等差數列；
（2）求數列{an}的通項公式；
（3）設存在正整數k，使（1+S1）（1+S1）…（1+Sn）≥k 對于一切n∈N*都成立，求k的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵數列{an}的前n項和Sn與an之間滿足an= （n≥2，n∈N*），

∴Sn﹣Sn﹣1= ，化為： ﹣ =2．

∴數列{ }是等差數列，公差為2，首項為1．

（2）解：由（1）可得： =1+2（n﹣1）=2n﹣1，可得Sn= ．

∴n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ ．

∴an= ．

（3）解：∵1+Sn=1+ = ．

∴Tn=（1+S1）（1+S1）…（1+Sn）= × ×…× ＞ × ×…× = ×…× ×（2n+1）

= ，

可得：Tn＞ ．

∴存在正整數k，使（1+S1）（1+S1）…（1+Sn）≥k 對于一切n∈N*都成立，則k的最大值為1．

【解析】（1）數列{an}的前n項和Sn與an之間滿足an= （n≥2，n∈N*），可得Sn﹣Sn﹣1= ，化為： ﹣ =2．即可證明．（2）由（1）可得： =1+2（n﹣1）=2n﹣1，可得Sn= ．n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1；n=1時，a1=1．（3）1+Sn=1+ = ．可得Tn=（1+S1）（1+S1）…（1+Sn）= × ×…× ＞ × ×…× = ×…× ×（2n+1）= ，可得：Tn＞ ．即可得出．