Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a＞0）．
（Ⅰ）（i）若b=﹣2，且f（x）在（1，+∞）上為單調遞增函數，求實數a的取值范圍；
（ii）若b=﹣1，c=1，當x∈[0，1]時，|f（x）|的最大值為1，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）若f（0）≥1，f（1）≥1，f（x）=0的有兩個小于1的不等正根，求a的最小正整數值．

Answer 1

（Ⅰ）（i）[1，+∞）；（ii）（0，1]；（Ⅱ）5

解析試題分析：（Ⅰ）（i）若b=﹣2，則f（x）=ax²﹣2x+c（a＞0）的圖象是開口朝上且以直線x=為對稱軸的拋物線．若f（x）在（1，+∞）上為單調遞增函數,則≤1,解得a≥1,即實數a的取值范圍為[1，+∞）;（ii）若b=﹣1，c=1，則f（x）=ax²﹣x+1（a＞0）的圖象是開口朝上且以直線x=為對稱軸的拋物線,若當x∈[0，1]時，|f（x）|的最大值為1，則或解得0＜a＜，或≤a≤1,所以實數a的取值范圍為（0，1]；（Ⅱ）若f（0）≥1，f（1）≥1，f（x）=0的有兩個小于1的不等正根，則
解得a＞4，故a的最小正整數值為5.
試題解析：（Ⅰ）（i）若b=﹣2，
則f（x）=ax²﹣2x+c（a＞0）的圖象是開口朝上且以直線x=為對稱軸的拋物線．
若f（x）在（1，+∞）上為單調遞增函數，則≤1，解得a≥1，
即實數a的取值范圍為[1，+∞）
（ii）若b=﹣1，c=1，
則f（x）=ax²﹣x+1（a＞0）的圖象是開口朝上且以直線x=為對稱軸的拋物線．
若當x∈[0，1]時，|f（x）|的最大值為1，
則或，
解得0＜a＜，或≤a≤1
綜上所述：0＜a≤1
即實數a的取值范圍為（0，1]
（Ⅱ）若f（0）≥1，f（1）≥1，f（x）=0的有兩個小于1的不等正根，
則
由b²＞4ac＞4a（1﹣a﹣b）得：
b²+4ab+4a²=（b+2a）²＞4a，
即b+2a＞2，
即b＞2﹣2a，…①
由b²＞4ac≥4a得：
b＜﹣2…②
由①②得：
2﹣2a＜﹣2，
解得a＞4，
故a的最小正整數值為5．
考點：1.二次函數的圖象與性質;2.不等式的性質