Question

在等腰三角形ABC中內角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，已知sinA：sinB=1：2且bcosC+ccosB=10則△ABC的周長等

50

．

Answer 1

分析：首先利用余弦定理，證出bcosC+ccosB=a=10，結合A、B正弦之比得到b=2a=20．而△ABC的等腰三角形，可得c=a=10或c=b=20，根據三角形兩邊之和大于第三邊加以檢驗，即可得到△ABC的周長．

解答：解：∵由余弦定理，得
bcosC+ccosB=b•

a2+b2-c2

2ab

+c•

a2+c2-b2

2ac

=

(a2+b2-c2)+(a2+c2-b2)

2a

=a
∴根據bcosC+ccosB=10，可得a=10
∵sinA：sinB=1：2，
∴根據正弦定理，得a：b=1：2，可得b=2a=20
∵△ABC的等腰三角形，∴c=a=10或c=b=20
而c=a=10，b=20不滿足a+c＞b，舍去
∴a=10，b=c=20可得周長為a+b+c=50
故答案為：50

點評：本題給出△ABC兩邊之比和其中一邊滿足的等式，求△ABC的周長，著重考查了利用正余弦定理解三角形、構成三角形的條件等知識點，屬于基礎題．