Question

（本小題滿分14分）如圖，正三棱柱的側棱長和底面邊長均為，是的中點．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求證：∥平面；
（Ⅲ）求三棱錐的體積．

Answer 1

（Ⅰ）證明：因為是正三棱柱，
所以 平面.
又 平面，
所以 .             ………………3分
因為 △是正三角形，是的中點，
所以 ，                                        ………………4分
所以 平面.                                 ………………5分
（Ⅱ）證明：連結，交于點，連結.
由 是正三棱柱，
得 四邊形為矩形，為的中點.
又為中點，所以為中位線，
所以 ∥，                                        ………………8分
因為 平面，平面，
所以 ∥平面.                                  ………………10分
（Ⅲ）解：因為 ，                            ………………12分
所以 .                      ………………14分

略