Question

【題目】已知橢圓的焦點為，，P是橢圓C上一點.若橢圓C的離心率為，且，的面積為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知O是坐標原點，向量，過點（2，0）的直線l與橢圓C交于M，N兩點.若點滿足，，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據題意可得方程組聯立，解得b，a，進而得出橢圓C的方程.

（2）設直線l的方程為：，設，，聯立直線l與橢圓的方程消元，然后韋達定理得，，因為，得，當時，，當時，，，因為，所以，代入化簡得，然后變形利用基本不等式可得出答案.

（1）依據題意得，

所以，所以，

因為，故設，代入橢圓方程得，

所以的面積為：.

聯立，解得，，

所以橢圓C的方程為：.

（2）由題意可知直線l的斜率顯然存在，故設直線l的方程為：，

聯立，消去y并整理得，

所以，

設，，

所以，，

因為，

所以，

當時，，

當時，，，

因為，所以，所以，

所以

當且僅當時取等號，且滿足，所以

綜上.