Question

【題目】如圖所示，正方形AA1D1D與矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，點E為AB的中點．

（1）求證：BD1∥平面A1DE；
（2）求直線A1E與平面AD1E所成角．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AD1交A1D于點F，連EF．

∵四邊形AA1D1D是正方形，

∴F是AD1的中點，

又∵E為AB的中點，

∴EF∥BD1，

又∵EF平面A1DE，BD1平面A1DE．

∴BD1∥平面A1DE．

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AE⊥AD．

又∵平面AA1D1D⊥平面ABCD，平面AA1D1D∩平面ABCD=AD，AE平面ABCD，

∴AE⊥平面AA1D1D，又A1D平面AA1D1D，

∴AE⊥A1D．

∵四邊形ADD1A1是正方形，

∴AD1⊥A1D，

又∵AE平面AD1E，AD1平面AD1E，AE∩AD1=A，

∴A1D⊥平面AD1E，

∴∠A1EF是直線A1E與平面AD1E所成角．

∵AA1=AE=1，

∴

∵正方形AA1D1D的邊長為1，

∴

∴ ，

∴ ．

即直線A1E與平面AD1E所成角為 ．

【解析】（1）連接AD1交A1D于點F，連EF，利用中位線定理可得BD1∥EF，故BD1∥平面A1DE；（2）證明A1D⊥平面AD1E，故而∠A1EF為直線A1E與平面AD1E所成角，于是sin∠A1EF= ．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．